a) porqué
Es un sustantivo masculino que equivale a causa, motivo, razón, y se escribe con tilde por ser palabra aguda terminada en vocal. Puesto que se trata de un sustantivo, se usa normalmente precedido de artículo u otro determinante:
No comprendo el porqué de tu actitud [= la razón de tu actitud].
Todo tiene su porqué [= su causa o su motivo].
Como otros sustantivos, tiene plural:
Hay que averiguar los porqués de este cambio de actitud.
b) por qué
Se trata de la secuencia formada por la preposición por y el interrogativo o exclamativo qué (palabra tónica que se escribe con tilde diacrítica para distinguirla del relativo y de la conjunción que). Introduce oraciones interrogativas y exclamativas directas e indirectas:
¿Por qué no viniste ayer a la fiesta?
No comprendo por qué te pones así.
¡Por qué calles más bonitas pasamos!
Obsérvese que, a diferencia del sustantivo porqué, la secuencia por qué no puede sustituirse por términos como razón, causa o motivo.
c) porque
Se trata de una conjunción átona, razón por la que se escribe sin tilde. Puede usarse con dos valores:
- Como conjunción causal, para introducir oraciones subordinadas que expresan causa, caso en que puede sustituirse por locuciones de valor asimismo causal como puesto que o ya que:
No fui a la fiesta porque no tenía ganas [= ya que no tenía ganas].
La ocupación no es total, porque quedan todavía plazas libres [= puesto que quedan todavía plazas libres].
También se emplea como encabezamiento de las respuestas a las preguntas introducidas por la secuencia por qué:
—¿Por qué no viniste? —Porque no tenía ganas.
Cuando tiene sentido causal, es incorrecta su escritura en dos palabras.
- Como conjunción final, seguida de un verbo en subjuntivo, con sentido equivalente a para que:
Hice cuanto pude porque no terminara así [= para que no terminara así].
En este caso, se admite también la grafía en dos palabras (pero se prefiere la escritura en una sola):
Hice cuanto pude por que no terminara así.
d) por que
Puede tratarse de una de las siguientes secuencias:
- La preposición por + el pronombre relativo que. En este caso es más corriente usar el relativo con artículo antepuesto (el que, la que, etc.):
Este es el motivo por (el) que te llamé.
Los premios por (los) que competían no resultaban muy atractivos.
No sabemos la verdadera razón por (la) que dijo eso.
- La preposición por + la conjunción subordinante que. Esta secuencia aparece en el caso de verbos, sustantivos o adjetivos que rigen un complemento introducido por la preposición por y llevan además una oración subordinada introducida por la conjunción que:
Al final optaron por que no se presentase.
Están ansiosos por que empecemos a trabajar en el proyecto.
Nos confesó su preocupación por que los niños pudieran enfermar.
Fuente: RAE